比物理学不存在更恐怖的，是圆周率

《三体》中，杨冬在自杀前，恐惧地自问：

“大自然，真是自然的吗？”

你，觉得呢？

再思考一遍

这个问题

你

恐惧了吗

…

1、举派求婚日

这是我见过，最独特的求婚。

今天，3 月 14 日。

数学系某男生，突然单膝跪地，深情款款地望向女友，从背后掏出了…

… 苹果派？

我仔细看了看，发现这份苹果派，是一个很完美的三角形切片，而它的俯视图，和下面这个式子的轮廓完美重合：

我恍然大悟，原来，他的求婚是这个含义。

如果你对这个式子有些陌生，那我们不妨把这份切片复位：

现在，它的外形是不是很像一个圆？

假设烘焙的是迷你派，直径只有 1 厘米，那它的周长，就会成为今日的最大主角：

π。

还记得小时候，数学老师要求你背诵的圆周率口诀吗？

3.141592653..

就在今天。

3.14，国际圆周率日。

你即将意识到：

这串数字背后，

囊括了，

整个宇宙。

2、专治各种不服

记忆中，高考临近的五月，大家都变得躁动。

某天，数学老师在黑板上写下这个式子：

“强调过多少次了，大题要有完整的计算过程，结果呢？喜欢只写答案是吧？行，谁能告诉我，这个式子的答案是多少？”

教室，鸦雀无声。

老师用讲尺敲了敲黑板，“连 π 都认不出来，你们有什么好嘚瑟的？”

后来，在大学微积分课上，我才知道，这个是约翰・沃利斯在 1655 年发现的沃利斯乘积，是欧洲第二个发现的无穷项圆周率公式：

沃利斯乘积简易证明过程

难怪当年我们都答不上来了！

降维打击，赤裸裸的降维打击啊。

不过，我觉得，数学老师的这一招，值得学习！

下次，你想试探对方深浅的时候，还可以问问下面这个式子的值是多少：

如果对方沉默了，你就语重心长地说：“连 π 都不认识，你还是多读点书吧。”

毕竟，这是 π 的莱布尼茨公式，只要项次足够多，总和一定会慢慢接近 π。

虽然，这个数列的收敛速度很慢，要到 500,000 项之后，才能精确到 π 的第五小数…

但不管怎么说，π，专治各种不服！

3、无限不循环

让我们来重温一道小学数学题：

请移动一根火柴棒，使得下方等式，变成另一个近似等式。

题干中，之所以要强调“近似等式”，是因为 π 是无理数，并不能表示成两个整数之比的形式，虽然我们常用形如 22/7 的分数去近似表示 π，但实际上 π 是无限不循环小数。

不过，每一个无理数都可以用连续分数的形式来表示，π 也不例外，比如:

在任意一点截断，都能得到一个 π 的近似值，如果我在第二行截断，那就能得到 22/7；如果我在第四行截断，就能得到 355/113。

之所以指出这两个值，是因为它们作为圆周率的近似值，在历史上曾大放异彩。

公元前 250 年，阿基米德在他的论文《圆的度量》中提出：

他使用的，是割圆法：

割圆法示意图，来源 [1]

圆的周长，介于它的外切多边形和内接多边形之间，当我们不断增加多边形的边数时，可以不断缩小之间的周长差，于是通过计算多边形的周长，就能得到具有一定精度的 π 值上下限。

而在古代中国，我们对圆周率的探索，也源来已久。

在我国最古老的天文学和数学著作《周髀算经》 中，有这样一句话：“数之法出于圆方”，三国时期的数学家赵爽对其注释为：“圆径一而周三”，意思是直径为 1 的圆，周长大约是 3。

可见，在当时，我们使用的圆周率粗估值是 3。

公元 462 年，祖冲之在《缀术》中记载了他计算得出的圆周率近似值 355/113，其展开成小数的值是 3.1415929203…

祖冲之

在之后近 800 年的时间内，这都是准确度最高的 π 估算值。

其实，圆周率的估算，在古代有着很直接的现实意义。

例如，当时不论是普通百姓，还是皇室贵族，都十分关心着一件事：什么时候会降雨、降雨量如何。

为此，朝廷官员需要修订历法，里面就涉及了圆周计算，如果 π 的近似值误差较大，就不能准确预知一年四季，最后直接影响整个国家的民生大计。

而 355/113 的精确程度，可以举例来具体感受一下：

假设一个圆的直径是 10000 米，那用它计算出的圆周长与真值相比，仅仅多了不到 3 毫米！

因此，祖冲之的这一成就，不论是对当时的黎民百姓，还是对后世的研究进展，都可谓是意义重大。

4、随机抛针得 π

既然今天是国际 π 日，我们不妨一边吃派，一边玩个小游戏。

在纸上画满相距 4 厘米的平行线，找来 n 根 2 厘米长的牙签，随机地抛在纸上，最后统计牙签与平行线相交的次数 k，计算 n / k 的值。

随机抛掷

统计后发现，n / k 的值与圆周率 π 十分接近！

这，其实就是著名的蒲丰实验。

假设有一组距离为 a 的平行线，投掷的牙签长为 l，牙签与直线相交的概率，可以这样简单计算：

简易示意图

假设牙签 AD 与直线 MN 相交，B 是牙签的中点，牙签与直线的夹角为 θ，B 点到直线 MN 的垂直距离为 s，则需要满足 s≤lsinθ/2，牙签才会和直线相交。

牙签与直线 MN 相交的角度 θ 变化范围是 0~π，s 的变化范围是 0~a / 2，简单画出示意图如下：

示意图中的曲线是 s= lsinθ/2，则阴影部分代表着牙签与直线相交的情况，这个矩形面积代表着投掷总次数，所以相交概率可以这样计算：

在上述小游戏中，我们选择了参数 a=2l，因此，正好得到 n / k=π。

理论上而言，随着投掷的次数增加，就可以得到越来越准确的 π 值，历史上也有不少人曾经进行过这个实验：

部分历史实验数据表格，来源 [2]

如果仔细观察，就可以发现，π 值的精确度似乎并不和投掷次数成正比。

鲁道夫投掷了 5000 次，拉兹里尼只投掷了 3408 次，但得到的 π 值，却比鲁道夫精确很多。

对此，有不少学者曾经怀疑拉兹里尼的数据造假。

但实际上，这个投掷实验还涉及到最优停止问题：究竟投到多少次停止，才能获得较优解。

撇开这些不论，蒲丰实验是第一个用几何形式表达概率问题的例子，首次使用了随机实验处理确定性的数学问题，这不仅是蒙特卡洛方法的雏形，也促进了积分几何学的诞生。

可别忘了，这一切的开端，都源于我们想要求出 π 值。

冥冥之中，似乎有什么在牵引着我们，在不断探索圆周率的过程中，我们触碰到了，更广袤无垠的世界。

5、超算热身操

我们对圆周率的探索，跨越了几千年，从未停止。当我们拨动时针，快进到这个时代，圆周率的故事，有了新的参与者：

超级计算机。

2021 年 8 月，瑞士的科学家刷新世界纪录，使用超级计算机，将圆周率计算到了小数点后的 62.8 万亿位，耗时 108 天零 9 小时。

没想到，仅仅过了半年多的时间，纪录又被打破了！

2022 年 3 月，Google Cloud 将小数点后的 100 万亿位数都给计算了出来，共计用了不到 158 天的时间，而第 100 万亿位，恰好是 0。

圆周率小数点后 100 万亿位的最后 100 位数，来源 [3]

事实上，如果从实际测量的角度而言，圆周率 π 值精确到 39 位时，就可以将可观测宇宙的圆周计算，精确到一个原子大小，这已经能够满足目前绝大多数宇宙学的计算需求了。

既然如此，计算上万亿的小数点位数，究竟有什么意义？

你有没有想过，超算发展如此快速，但我们要用什么方法，去检验超算的可靠性、精确度和运算速度等一系列指标？

这时候，就轮到 π 登场了！

用超级计算机去计算多位 π 值，是目前用于检验计算机性能和改善计算方法的常用方法。

就像我们不断刷新登顶珠穆朗玛峰的纪录一样，作为一台超级计算机，π 值，则是它们需要攀登的高峰。

简单说来，首先要将 π 值计算程序用于一台能正常工作的超算上，进行多次实验，确认程序没有问题；

接着将这程序用于测试机，如果测试机在计算圆周率的时候出错了，就说明这台超算的硬件是有问题的，需要进一步检查调整。

这样看来，无穷无尽的圆周率，大概是超级计算机的热身操。

当某台超级计算机刷新 π 值的世界纪录后，热身结束，接下来，就是在其他各个研究领域，一展芳华。

6、宇宙密码

《三体》中，杨冬在自杀前问：“大自然真是自然的吗？”

而卡尔・萨根，则在小说《接触未来》中暗示，宇宙的创造者，在 π 的数字中，暗藏了一则信息。

所以，对于很多 π 迷而言，大自然可能并不自然，而终极密码，也许就藏在 π 中。

例如，质子和电子的质量比大约是 1836，恰好等于 6π⁵ 的取整值。

等等，这真的只是巧合吗？

基本粒子的内禀特性，会不会与宇宙中的某种几何特征，息息相关？

对于这个说法，至今没有什么理论依据，而且大概率很有可能，就只是巧合…

相比之下，更加有意思的一点是，π2 的值和重力加速度 g 的数值十分接近。

这可不是巧合！这都和长度单位 m 的定义有关。

1660 年，伦敦皇家学会提出，在地球表面摆长约一米的单摆，一次摆动的时间大约是一秒。

也就是说，对于长度 m 的最初定义是：一次摆动时间为 1s 的单摆的长度 。

我们来观察一下单摆的周期公式：

由于 T 描述的是完成一次往返摆动的时间，所以我们代入 T=2s，忽略单位，简单变形可以得到：

由于我们定义了这时候的单摆长度 L 是 1m，就可以得到，π² 和 g 的数值相等！

也就是说，在最开始的时候，π²=g。

后来，我们对单位长度 m 的定义不断调整，导致数值有了变化，但差距并不大，所以现在的 π² 也就和重力加速度 g 的数值十分接近，但并不完全相等了。

除此之外，π 还出现在各色各样的物理世界中：

精细结构常数

海森堡不确定性原理

麦克斯韦速率分布函数

事实上，不仅仅是各种物理公式中有 π，我们的日常生活，也和圆周率息息相关。

《疑犯追踪》中，就有一段很耐人寻味的片段，值得我们细细感悟。

现在，吃着 3.14 元的派。

再来仔细回味一下，π 的魔力。

它是无理数，无限不循环；

它还是超越数，不是任何一个有理数系数多项式的根。

它包含着，宇宙中所有无限的可能。

所以，举派求婚的含义是..

《以 π 为名》

“

喜欢你，

不知从何而起，

超越一切，

无穷无尽，

奔向你。

”

原来如此！

愣着干嘛，怎么还在吃派！

说你呢！

还不抓紧时间，举派去表白！

哦，对啦！

记得悄悄讨论一下：

大自然，真是自然的吗？

参考文献：

• [1] 维基百科：圆周率
• [2]《π 的密码》
• [3]Google Cloud Blog

本文来自微信公众号：中科院物理所 （ID：cas-iop），作者：穆勒家保姆